% Пример оформления тезисов для ICSCD'11
\documentclass[11pt]{article}
% Следующие определения просьба оставить без изменений
\usepackage[b5paper,
	paperheight=250mm,paperwidth=176mm,
	textheight=19.5cm,textwidth=14cm]{geometry}
\makeatletter
\renewcommand{\maketitle}{
  \noindent{\bf\@title}\par
  \vskip2mm
  \noindent{\bf\@author}
  \vskip5mm}
\def\@biblabel#1{#1. }
\renewenvironment{thebibliography}[1]{
  \vskip 5mm plus 5mm minus 3mm
  \list{\@biblabel{\@arabic\c@enumiv}}{
    \itemsep=0mm\parsep=0mm\leftmargin=15pt
    \@openbib@code
    \usecounter{enumiv}}
  \footnotesize
}{\endlist}
\def\address#1{\def\@address{#1}}
\def\email#1{\def\@email{#1}}
\newcommand{\makeaddressline}{
  \vskip 4mm plus 4mm minus 2mm
  \ifx\@address\@empty\relax\else\par\noindent{\footnotesize\slshape\@address}
  \ifx\@email\@empty\relax\else\newline{\footnotesize\upshape\ttfamily\@email}
  \fi\fi
}
\renewenvironment{abstract}{
	\vskip 4mm plus 4mm minus 3mm
	\parindent=0pt
	\def\title##1{\small{\normalsize\bfseries ##1}\item}
	\def\author##1{\small{\bfseries ##1}\item}
	\begin{otherlanguage*}{english}
	\list{}{\listparindent	0pt
		\topsep		6mm
		\itemindent	0pt
		\rightmargin	0pt
		\leftmargin	0pt
		\parsep        \z@ \@plus\p@}%
	\item\relax\footnotesize
}{\end{otherlanguage*}\endlist}
\makeatother
% Всё что ниже этой строки можно редактировать

% Определите кодировку и язык для тезисов на русском
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

% Если используются какие-либо пакеты, подключите их здесь
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\newcommand{\bfc}[1]{{\mbox{\boldmath$#1$}}}

\title{О редукции уравнений движения гиростата}
\author{И.Н.~Гашененко, Г.В.~Мозалевская, Е.И.~Харламова}
\address{Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины,\\
	ул.~Р.~Люксембург~74, Донецк 83114, Украина}
\email{applmech@iamm.ac.donetsk.ua}

\begin{document}
\maketitle

Движение тяжелого гиростата вокруг неподвижной точки описывается
дифференциальными уравнениями
\begin{equation}\label{1}
    A\dot {\bfc \omega}=
        (A{\bfc \omega}+{\bfc \lambda})\times{\bfc \omega} +
        {\bf r}\times{\bfc \nu},\qquad
	\dot {\bfc \nu}= {\bfc \nu}\times{\bfc \omega},
\end{equation}
где $A={\rm diag}(A_1,A_2,A_3)$ -- тензор инерции, ${\bfc \omega}$
-- угловая скорость тела-носителя в подвижных осях, ${\bfc \nu}$ --
орт вертикали, ${\bfc \lambda}$ -- постоянный гиростатический момент
и $\,{\bf r}$ -- вектор, направленный из неподвижной точки к центру
масс гиростата. Уравнения \eqref{1} допускают три первых интеграла
\begin{equation}\label{2}
    H = \frac12  A{\bfc \omega}\cdot {\bfc \omega}-
        {\bf r}\cdot{\bfc \nu}=h,\qquad
    G = (A{\bfc \omega}+{\bfc \lambda})\cdot{\bfc \nu}=g,\qquad
    I = {\bfc \nu}\cdot{\bfc \nu}=1.
\end{equation}

В 1962~г. П.В.~Харламов \cite{Kharlamov1963} показал, что понижение порядка
дифференциальных уравнений \eqref{1} с помощью известных интегралов \eqref{2}
наиболее просто осуществляется в специальной прямоугольной системе
координат $\,({\bf e}_1^{'},{\bf e}_2^{'},{\bf e}_3^{'}),$ первая
ось которой проходит через центр тяжести, а остальные выбраны так,
чтобы гирационный тензор $a$ имел среди компонент
$a_{23}=a_{32}=0.$ Задача о движении гиростата была сведена к двум
дифференциальным уравнениям, каждое из которых имеет первый порядок.

В докладе обсуждаются различные формы уравнений динамики твердого
тела, преобразования переменных, упрощающие эти уравнения,  и методы
понижения порядка системы \eqref{1}. На основе переменных Гесса,
Харламова, Андуайе--Депри получены новые формы уравнений движения
гиростата вокруг неподвижной точки \cite{GMKh2008}.

В качестве исходных  приняты переменные $\,{\mathcal M}_1, {\mathcal
M}_2, {\mathcal M}_3$ -- компоненты момента количества движения
гиростата в специальной системе координат. В базисе $\,({\bf
e}_1^{'},{\bf e}_2^{'},{\bf e}_3^{'})\,$ кинетическая энергия
гиростата записывается в виде
\begin{equation}\label{3}
    T = \displaystyle\frac12\,a\,\boldsymbol{\mathcal{M}}\cdot
        \boldsymbol{\mathcal{M}}-a\,{\bfc \lambda}\cdot
        \boldsymbol{\mathcal{M}}+\frac{1}{2}\,a\,{\bfc \lambda}\cdot
        {\bfc \lambda}.
\end{equation}
Заменой переменных
\begin{equation}\label{4}
    \mathcal{M}_1 = \frac1s\,\sin{\varphi_2},\quad
    \mathcal{M}_2 = \frac1s\,\cos{\varphi_2}\sin{\varphi_1},\quad
    \mathcal{M}_3 = \frac1s\,\cos{\varphi_2}\cos{\varphi_1}
\end{equation}
уравнения \eqref{1} сведены к системе
\begin{equation}\label{5}
    \left\{\begin{aligned}
        &\varphi_1^{'}=\varkappa^{-1}\frac{\partial \Phi}{\partial \varphi_2}\,,
             \qquad
          \varphi_2^{'}=-\varkappa^{-1}\frac{\partial \Phi}{\partial \varphi_1}+
             s^{-1}\tg{\varphi_2},\\
        &\frac{d\,s}{dt}=\varkappa,\qquad
          \varkappa = s\cos{\varphi_2}\sqrt{s^2-g^2s^4-\Phi^2},\\
        &\Phi = \left[T-h-g\,s\sin{\varphi_2}\right]\,s/\cos{\varphi_2}.
    \end{aligned}\right.
\end{equation}
Первые два уравнения \eqref{5} образуют замкнутую подсистему второго
порядка, $\,s$ -- независимая переменная, $\,\,\,'{\;\buildrel\rm
def \over{ =}}d/d s;$ $\,\varphi_1,\varphi_2\,$ -- две зависимые
переменные, $T$ находим подстановкой \eqref{4} в \eqref{3}.
Если зависимость $\,\varphi_1,\varphi_2\,$ от $\,s\,$ найдена, то $\,s(t)\,$
определяется из третьего уравнения \eqref{5}. В базисе
$\,({\bf e}_1^{'},{\bf e}_2^{'},{\bf e}_3^{'})$ компонентами орта вертикали
$\,{\bfc \nu}\,$ являются
\begin{equation*}
    \begin{aligned}
        &\nu_1=gs\sin{\varphi_2}+s^{-1}\,\Phi\cos{\varphi_2},\\
        &\nu_2=[gs\cos{\varphi_2}-s^{-1}\Phi\sin{\varphi_2}]\sin{\varphi_1}+\sqrt{1-g^2s^2-s^{-2}\Phi^2}\,\cos{\varphi_1},\\
        &\nu_3=[gs\cos{\varphi_2}-s^{-1}\Phi\sin{\varphi_2}]\cos{\varphi_1}-\sqrt{1-g^2s^2-s^{-2}\Phi^2}\,\sin{\varphi_1}.
    \end{aligned}
\end{equation*}

\begin{thebibliography}{M}
\bibitem{Kharlamov1963} \emph{Харламов П.В.}
	Об уравнениях движения твердого тела, имеющего неподвижную точку
	// Прикл. матем. и механика. --- 1963. --- 27, вып. 4. --- С. 703--707
\bibitem{GMKh2008} \emph{И.Н.~Гашененко, Г.В.~Мозалевская, Е.И.~Харламова}
	О редукции уравнений движения гиростата
	// Механика твердого тела. --- 2008. --- Вып. 38. --- С. 3--19
\end{thebibliography}

\makeaddressline

\begin{abstract}
\title{On the reduction of the equations of the gyrostat motion}
\author{I.N.~Gashenenko, G.V.~Mozalevskaya, E.I.~Kharlamova}
New methods of the reduction of the
differential equations of motion of a heavy gyrostat about a fixed
point are presented. The changes of variables, which simplify
finding of algebraic invariant relations, are considered. Using
special phase coordinates introduced by Hess, Kharlamov, Andoyer,
and Deprit, the new forms of dynamical equations are obtained.
\end{abstract}

\end{document}
